Понятие «ударной волны» можно также вывести теоретически, отправляясь от простого парадокса, которым мы обязаны Эрншоу. Наш орган слуха свидетельствует, что звук проходит большие расстояния почти без искажений и с постоянной скоростью, зависящей от температуры воздуха. Этот опытный факт делает правдоподобным предположение, что плоские звуковые волны распространяются в идеальном невязком газе, не искажаясь и не затухая. Однако это не так, что показывает парадокс Эрншоу.
П а р а д о к с Э р н ш о у. При адиабатических колебаниях газа плоские звуковые стационарные волны конечной амплитуды математически невозможны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что форма звуковых волн неизменна и что волны распространяются с постоянной скоростью, нормальной к волновому фронту. Тогда, если мы перейдем к осям координат, движущимся вместе с волнами, то увидим, что движение жидкости не только одномерно, но и стационарно. Выбрав в качестве направления движения ось х, мы можем написать р = р(х), u = u(х) и т. д., и (без учета силы тяжести) уравнение Бернулли (8) сведется к виду udu + dp/р = 0. Кроме того, уравнение неразрывности (1) перейдет в равенство pu = const = C, или u=C/p. Подставляя это в предыдущее соотношение, получаем уравнение
(18) Следовательно, подобное волновое движение возможно
только в случае, если жидкость удовлетворяет уравнению состояния
(3) частного вида:
Но нам не известен ни один газ, для которого адиабатическое уравнение состояния имело бы такой вид.
