§ 7. Парадокс Даламбера

Более известным и более давним, чем парадокс обратимости, является парадокс Даламбера, Согласно этому парадоксу, из допущений, сделанных в параграфе 5, следует D = L = О. Для случаев

Р и с. 1. Обтекание цилиндра,
по Эйлеру.

кругового цилиндра (рис. 1) и сферы это следует, в силу симметрии, из явной формы потенциала скоростей:

и теоремы Бернулли (8*) при g = О. Если задача корректно поставлена, то наличие четырехкратной симметрии, как в данных случаях, позволяет показать, что D = L = O, исходя только из соображений обратимости.

Вообще же парадокс Даламбера следует из принципа обратимости для любого профиля, который обладает центральной симметрией, т. е для такого, который отображается в себя при отражении относительно неподвижного центра симметрии. Обтекание плоской пластинки на рис. 2, а дает пример подобного рода. Давления, действующие на элементы поверхности, соответствующие друг другу при центральной симметрии, равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, эта система сил сводится только к паре сил.

Р и с. 2. Обтекание плоской пластинки,
по Эйлеру (а), по Жуковскому (б) и по Гельмгольцу (в).

Демонстрация парадокса а общем случае дело довольно тон. кое, при этом используется сложная теорема о поведении решений уравнения V'U = O нa бесконечности. А именно, пусть U(x) возрастает на бесконечности, по крайней мере, как первая степень модуь x = r. Тогда можно показать, что

где (x) «регулярна на бесконечности». Под этим мы понимаем то, что (x) можно разложить в некоторый сходящийся ряд (аналогичный ряду по отрицательным степеням в разложении Лорана), члены которого суть произведения отрицательных степеней r и сферических гармоник, выраженных через широту и долготу.

© 2005, Kostukov Michail. All Rights Reserved.

Hosted by uCoz